Convolution 은 분명 수리 물리 때도 배웠고, 응용 수학에서도 배운것 같기도 하고..(아닌가?), Anti-aliasing 에서도 배웠지만, 볼때마다 신기하다. 이번에 발견한것도 비슷한데, 표기법이 좀 다르게 보였다.

일단 수학적인 정의는 이렇다. Convolution 에 대해 다음이 정의된다.

그러니까 이 말은, 의 t 의 값은 t 를 기준으로 했을 때(반대로 해도 된다), g 의 원점을 t 로 옮기고 둘을 곱해서 적분한다는 말인데, 에... 그러니까, 좀 더 의미적으로 말하면, 둘의 합수가 이루는 공통점을 뜻하게 된다(설명이 이상하다. -_-ㅋ).

출처 : Wikipedia - Convolution

그냥 내 방식대로 머리속에는 공통점 뽑기로 저장되어 있다.

아무튼, 얼추 이해했다고 해도 막상 조금만 변형되면 이해가 안되는 경우가 있는데, 이번에도 비슷하다[1].

어떤 화면에 x, y 좌표에 점이 있다(원점은 어디든 상관 없다). 이때 Gaussian Filter 를 뜻하는 함수는 다음과 같이 정의 되어 있다.

여기까진 쉽다. 그런데, filter 를 씌울려면 일반적으로 convolution 을 사용한다. 따라서, f(x, y) 가 이미지라면 여기에 filter g 를 씌우려면 라고 쓰면 된다.

이게 어떤 논문에 다음과 같이 표시 되어 있다.

여기서 가 Gaussian filter 이다. x, y 를 기준으로 주변에 Gaussian filter 를 씌우는데 적분의 표기가 아닌 위와 같이 특정한 지점, 그리고 특정한 파라미터(i) 에 대해 이렇게 써놓았다. 처음 볼때 너무 이상했다.

물론 의미는 쉽다. 보통 사용하는 의미 그대로다. 에 대해, 주변의 값들(eg. x+1, y, x+1, y+1, x-1, y, ... ) 을 합치는 것이다(적분). 이러한 방법은 Blurring, Anti-aliasing 등에 자주 쓰인다.

좀 꼬아서 생각하기 위해 x, y 가 1000, 1000 이라고 생각해보자. 이때 Gaussian filter 의 값 은 0 에 거의 가까운 수가 된다. 이 값을 와 곱해버리면 의미가 맞지 않는다. 에는 자기 자신의 값이 최대 값이 되어야 하는데, 위의 공식에서 값은 아주 작은 값이 되어버린다.

물론 결과적으로, 이렇게 꼬아서 생각한 건 잘못 생각한 것이다. convolution 의 정의에 맞게 생각하면 된다. 그러니까 는 어떠한 지점 x0, y0 에 대해서 다음처럼 생각할 수 있다.

1. 값을 생각하는데, 여기서 x, y 는 x0, y0 를 포함한 전구간임. 기준은 없고 원점은 원래 원점 그대로 임.
2. 의 함수를 x0, y0 가 원점으로 오도록 (shift)시킨다. 따라서, 라는 공식이 되어, x0, y0 일 때 이 되어 최대값이 된다.
3. 이 둘을 적분한다.

그림을 그린다면, 는 가만히 놔두고, x0, y0 부분으로 를 이동 시켜버린 다음 둘을 포개서 적분한다고 생각하면 된다. 중요한건 적분한 값이 의 값이 된다는 것.

사실 알고보면 별거 아니고 당연한건데,

이렇게 적분 공식이 아니라서 좀 헷깔렸다. 다음부터는 이런 공식이 나와도 절대로 헷깔리지 않으리라 다짐해보지만... ..음.... 과연... -_-ㅋ

퀴즈

심심해서 퀴즈~. 임의의 함수 f(x) 에 대해 를 만족하는 g(x) 는???

흠... 너무 쉽나.;;

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